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かたちづくり

つれづれに、だらだらと、おきらくに

コタンジェントと三角形の関係(ただのメモ)

三角形メッシュに関する計算をやっているとちょくちょく cot (コタンジェント)が出てくるので、メモっときます。

外心とコタンジェント

http://i.gyazo.com/3036893a93775eef493a3649ff2cc806.pnghttp://i.gyazo.com/100a1eb2297074b03c17197ba54eb9e4.png
底辺から外心までの高さ  {\displaystyle h=\frac{L}{2}\cot\theta}
グレー部分の面積  {\displaystyle A=\frac{L^2}{8}\cot\theta}

 \theta が90°以上の時は外心が三角形の外になります。その場合 h は負の値となります。
外心が大事な理由は Voronoi duality です。Delauney 分割された三角形の外心を結ぶと Voronoi 図となります。
頂点 v の周りの Voronoi 領域の面積は、v 周りにグレー部分の面積を合算することで得られます。

面積とコタンジェント

http://i.gyazo.com/a4e0ba4b663927cec42462641dab716a.png
三角形の面積  {\displaystyle A=\frac{L^2}{2(\cot\theta_1 + \cot\theta_2)}}