かたちづくり

つれづれに、だらだらと、おきらくに

コタンジェントと三角形の関係（ただのメモ）

三角形メッシュに関する計算をやっているとちょくちょく cot （コタンジェント）が出てくるので、メモっときます。

外心とコタンジェント

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底辺から外心までの高さ {\displaystyle h=\frac{L}{2}\cot\theta}
グレー部分の面積 {\displaystyle A=\frac{L^2}{8}\cot\theta}

\theta が90°以上の時は外心が三角形の外になります。その場合 h は負の値となります。
外心が大事な理由は Voronoi duality です。Delauney 分割された三角形の外心を結ぶと Voronoi 図となります。
頂点 v の周りの Voronoi 領域の面積は、v 周りにグレー部分の面積を合算することで得られます。

面積とコタンジェント

http://i.gyazo.com/a4e0ba4b663927cec42462641dab716a.png
三角形の面積 {\displaystyle A=\frac{L^2}{2(\cot\theta_1 + \cot\theta_2)}}